Ich würde sagen, etwas Öl im Vorwege hätte die Entstehung des Problems verhindern können.
Aber das ist ja zu retten. Das "Dübelchen" ist eine Rastkugel und wahrscheinlich gar nicht das Problem. Das Problem ist im ersten Bild ganz rechts zu erkennen: Die Betätigungsstange, die durch die Achse geht und mit dem Knopf am anderen, laufradseitigen Ende bedient wird, sollte sich eigentlich mit Federdruck wieder zurückziehen und dabei das "Dübelchen" (ich finde den Ausdruck einfach schön ) nach außen drücken und fixieren, was dann wiederum die Achse in der Halterung hält. Die Stange ist aber offensichtlich festgegammelt...
Die große, und meiner Meinung nach einzig vernünftige Lösung (neben dem Tip von Job):
- Achse komplett ausbauen, aus der Halterung und dem Laufrad
- Ordentlich mit Kriechöl fluten oder besser über Nacht einlegen
- Wenn die Stange dann noch nicht beweglich ist, die Achse einspannen und die Stange vorsichtig rein- und von der anderen Seite zurückklopfen, bis sie frei beweglich ist und von selbst zurückschnappt
- mit ordentlich Fett wieder einbauen. Wenn die Rastung funktioniert, flutscht die Achse auch nicht wieder raus.
- das Ganze mit der Achse auf der anderen Seite wiederholen

Wenn das nicht zur Lösung führt, brauchst du eine (oder zwei) neue Achsen. Das ist ein Standardteil und wird außer an Fahrradanhängern auch in Rollstühlen eingesetzt. Durchmesser messen (es gibt meine ich zwei verschiedene, einen metrischen und einen zölligen, die dicht beieinander liegen, aber nicht kompatibel sind) und in einem gut sortierten Radladen oder in einem Geschäft für Rehabedarf oder Sanitätshaus nachfragen. Oder online .