Es gibt mehrere Optionen, aber ohne ein Stück zu radeln, wird es wohl kompliziert und mit 4 Rädern generell schwierig. In Frühsommer ist wohl noch die Eisenbahn-Tauernschleuse Böckstein/Mallnitz am Alpe-Adria-Radweg (CAAR) gesperrt. In dieser Zeit verkehrt ein ÖBB-Busshuttle über die Tauernautobahn. U.a. kann man in Schwarzach St. Veith, ich glaube auch in Bischofshofen zusteigen. Zu beiden Orten kann kann man mit Zügen verschiedener Art von Salzburg fahren. Der Shuttle hat zwei Haken: Die Kapazität ist weit geringer als beim Bahnshuttle und aufgrund der Masse an Radlern auf der Strecke möglicherweise nicht ausreichend, Veloplätze schwer zu bekommen (Reservierung erforderlich), erst recht für 4 Räder. Soweit ich auch wieder nur vermute, gibt es auf der Südseite keinen geplanten Ausstieg vor Spittal, weil erst dort der CAAR-Radweg wieder erreicht wird. Das müsste ggf. auch telefonisch klären, ob ein Ausstieg auch außer Plan gewährt werden kann.

Zwischen Flauchau (oder Flachauwinkl?) und Zederhaus (via Tauern-Autobahn/Tunnel, wie oben) verkehrt ein lokaler Busshuttle. Da das weniger bekannt ist, würde ich die Chancen für 4 Räder da höher ansehen. Man müsste dann aber zwischen Bischofshofen und Flachau weitere Verbindungen mit Velomitnahme suchen, bis Eben oder Altenmarkt im Pongau kommt man wiederum mit Zug. Bis Flachau kann mit 10 km und weniger kalkulieren - zuviel mit Radl???

Wenn es zusätzlich noch eine Postbuslinie über den Tauernpass gibt, wie oben von Uli genannt, umso besser an den Möglichkeiten.

Zum Rest kann ich nichts beitragen, weil ich den Mur-Radweg auf mehreren Teilen nur zwischen St. Michael und Graz kenne. Falls die Absicht sein sollte, nur flach und abwärts zu radeln, ein kleiner Warnhinweis: Der Mur-Radweg enthält mehrere kurze, aber giftige Steigungen aufgrund der Trassenführung (anders als Straße), an denen nicht bergfähige RalderInnen scheitern werden - also schieben müssen. Habe das an Familien gesehen, die da unterwegs waren und musste an solchen Stellen selsbt kämpfen. Es ist sicherlich kein Kriterium, den Radweg zu fürchten, aber mit den Passagen sollte man rechnen.