Hallo Markus,

Übernachtungsmöglichkeiten gibt es eigentlich immer genügend - die Frage ist, was das Budget zulässt. Zwar hat Anfang Juni in verschiedenen Alpenregionen noch nicht die Sommersaison angefangen - doch im Gegensatz zu Österreich machen die Schweizer ein kürzere Pause zwischen Winter- und Sommersaison.
Seid ihr JH-Mitglieder? - In Pontresina gibts eine JH, nicht aber in Chur - wie in einigen Karten falsch verzeichnet.
Wenn es sich einrichten lässt, würde cih euch eine Übernachtung in Bergün (Albulatal) empfehlen - wegen der herrlichen Engadiner Häuser.
Jede Menge Unterkünfte - weil Skiort gibt es z.B. auf dem Passo dell'Aprica - allerdings kein Charme. Günstig und einfach übernachtet habe ich mal in Malonno (südlich Édolo), wo es sehr gute italienische Haumannskost gab (war direkt an der Durchgangsstraße).
Am Gardasee kann es schnell teuer werden - in Desenzano musste ich mal wegen starkem Regen übernachten - günstig war es mal in einem Garni-Hotel in Salo (auch wegen Regen).