Also, mach's mal nicht so kompliziert
Die Kunstfasersachen - alles andere ist fuer Radreisen IMHO eh Quark - trocknen ziemlich schnell. Waschen kann man die Sachen ueberall mit Duschgel im Handwaschbecken. Das ist nicht die perfekte Waesche, aber fuer unterwegs reicht's

Nur ausdruecken, nicht wringen

Zum Trocknen gibt es netzartige Saecke die man auf den Gepaecktraeger schnallen kann, dann trocknen die Sachen unterwegs waehrend der Fahrt weiter.
Nur wenn Du echt lang unterwegs bist, sind vielleicht mal Waschsalon o. dgl. empfehlenswert