Hallo,
auch von mir herzliches Willkommen im Forum

Auch ich bin Student und kenne das Rumgeärgere mit dem vielen übrigen Monat am Endes des Geldes. Sich hier beraten zu lassen ist eine gute Idee. Hier werden aus den 4 Möglichkeiten sicher noch einege mehr.
Wie bereits geschrieben, kommen immer noch einige Kosten dazu. Auf jeden Fall wirst Du ordentliche Gepäcktaschen brauchen.
Zur 1. Möglichkeit: Ich glaube, Forumsmitglied Estate hat mal ein vollgefedertes MTB mit Reiseutensilien bepackt und vorgestellt. Die Idee, beim vorhanden Rad den Rahmen zu tauschen, halte ich für schlecht. Mehr, als ans vorhandene MTB ein Paar Reifen à la Mara Mondial und Teile für Sitzposition (Hörnchen, Sattal?, Vorbau,...) zu bauen würde ich nicht machen.
2. : Das von dir angesprochene Low Budget Reiserad klingt gar nicht mal so billig. Es ist allerdings so, dass Du in diesem Preissegment ohne oder für kleinen Aufpreis schon einiges an Verbesserung bekommst: Scheibenbremsen gehen auch beim Intec M1, bessere Reifen (Mara xxx Evolution), vllt. auch breitere Felgen. Der Rahmen muss von der Länge her passen, der in RH58 hat 59cm OR-Länge. Mit Komplettgruppen lässt sich viel Geld sparen (z.B. cycle-aix ist ne gute Adresse). Lichtanlage sollte zumindest einmal erwogen werden.
3. Ein passendes Reiserad gebraucht wäre natürlich 'ne super Gelegenheit. Bei ebay Kleinanzeigen kriegt man felgengebremste Rohlofffahrräder teils bis 1000€. Würde ich aber nur bei Probefahrt und mit Produktüberprüfung (Seriennummern) machen. Oder stellst ein Gesuch. Es gibt auch beim Händler oft gute Gebrauchtradangebote oder in anderen lokalen Stellenangeboten.
Keine Ahnung zu 4.
Eine weitere, 5. Variante ist der Kauf eines gebrauchten Rades mit unbrauchbaren Verschleißteilen, Beschaffungswege wie bei 3. Mein Mitbewohner hat für 25€ (unwissentlich) einen wirtschaftlichen Totalschaden gekauft. Cantileverbremsen, verschlissener Antrieb (kette sprang), Laufradsatz im Zustand "naja", Plastikpedale mit verbogener Achse aber immerhin Stahlrahmen von Raleigh ohne anzeichen von Rost. Das haben wir billigstmöglich wieder flott gemacht. Antrieb für 70€ fahrtüchtig gemacht, gebrauchte V-Brakes. Vielleicht findest Du auch ein derartiges angebot, bei dem man für <50€ brauchbare Komponenten (Rahmen, Gabel, Sattelstütze, Vorbau Lenker) ergattert. Auch hier keinesfalls die Option auf Scheibenbremse und NaDy verbauen. Auch hier lohnen sich komplettgruppen.
Zudem würde ich mich nicht auf 26"/559 festlegen. Auch mit 28"/622 lassen sich robuste räder bauen.